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我母亲拿出一些破布头,它们都是圆的,直径为1厘米。她认为这应该足以填满各种形状的洞。但真的是这样吗?你想用不同形状的孔来覆盖吗,但最宽的孔不超过1厘米,直径为1厘米的圆片就足够了
假设你的裤子在三角形上有一个洞,这是一个边长为1cm的等边三角形,因此三角形中任何两点之间的距离都不会超过1cm,这就满足了我们在开始时对这个洞的要网站推广方案策划书求。但是你会发现直径为1厘米的圆形补丁并不能完全覆盖这个洞。
直径为1cm的圆不能完全覆盖边长为1cm的等边三角形。(如无特殊标记,本文图片均来自广达杂志)
当然,最安全的方法是准备一块大布,这样任何一个洞都可以填满,这是浪费。所以问题是:你能找到最小的一块布吗?这样它就可以填满任何形状的洞,宽度不超过1厘米
这个看似简单的问题困扰了数学家100多年。即使现在,他们仍然没有找到最终的答案。如果我们只需要能够覆盖所有宽度为1的孔,那么我们有很多选择,但很难找到最小的一个。
为了讨论这个问题,我们首先考虑宽度为1的任意形状R。虽然我们不知道它是什么样子,但一定有两个点相隔1个单位长度,我们称之为点a和点B
现在想象R形状的第三个点C和C。首先,点C和点a之间的距离不能超过1。也就是说,我们画一个以a为中心,以1个单位长度为半径的圆a,点C必须在圆(或圆)中。
同样,点C和点B之间的距离不应超过1个单位长度。如果我们以B点为中心,1点为半径,C点也应该在这个圆的范围内。
由于C点应该在a和B两个圆中,所以C点应该落在两个圆的重叠区域,即下图中的足球形状。
不仅C点,r形的其他点也需要满足同样的条件,所以r形的所有点都应该落在上图中的“橄榄球”中。换句话说,如果这个形状可以覆盖所有可能的形状R,那么它就是一个“包罗万象”的形状。
首先,将两条平行于AB线的线相加(如下图所示),使它们与AB之间的距离为1/2,使两条线之间的距离为1个单位长度。
现在我们有两个这样的红色区域I和II,它们之间的最短距离是1。换句话说,I中的任何点与II中的任何点之间的距离必须大于1。
设想如果形状r包含区域I中的一些点,则这些点与区域II中的任何点之间的距离必须大于1,这违反了我们对形状r的要求。也就是说,形状r此时不能与区域II重叠。所以,在I区和II区,我们可以切一个。用这种方法得到的同样形状的“彩蛋”仍是一个全民覆盖的数字。
你还记得那个朋友,勒伯格的一个数学家朋友,在收到勒伯格的信后不久,利用等宽曲线(等宽曲线是指任意一对平行切线具有相同距离的曲线,圆是等宽曲线中最常见的曲线)的性质,证明了等边距离为1的正六边形可以覆盖一切。
“pal六边形”的面积比我们的“彩蛋”小,面积为√3/2≈0.866。不过,帕尔对此并不满意,他发现六边形可以多剪几个角。
我们知道正六边形的旋转对称角是60°。再将另一个六边形绕中心旋转30度,然后在原来的六边形上折叠,我们可以为原来的六边形切六个角,对应下图中的红色区域。
还记得我们是怎么切橄榄球的一角来做鸡蛋的吗?接下来的步骤与我们之前的切割过程非常相似。
首先,每组相对较小的三角形之间的距离是1个单位长度,因此可以切割每对红色三角形中的一个。当然我们希望每对能剪三个一个。但是,如果真的把这三个角落剪掉,这个数字就不符合全包覆盖的条件。
根据六边形的对称性,如果一个图形占据六个小三角形中的三个,它可能有两种情况:三个连续的角(左图)或三个交替的角(右图)。我们在图片中用蓝色和红色来表示这两种情况。
如果我们的形状r占据了左图中的三个蓝色三角形,那么我们就不能覆盖它而不切割右图中的三个红色三角形。相反,如果我们把左图中的三个红色三角形切掉,那么当形状r占据右图蓝色区域中的三个三角形时,新的图形就不能覆盖r
但如果我们不能同时修剪三个角,我们至少可以修剪两个。如果我们切断两个既不相邻也不相反的红色三角形,我们就不会有问题,帕尔就是这么做的。
这一成就给了吉布斯极大的信心。在2018年发表的另一篇文章中,他切断了“大面积”并将总覆盖面积从0.8441153减少到0.84409359平方单位。
但你也可以尝试想出一种新的技术,或者一个新的剪裁起点。也许你可以像那个业余数学家一样,接近最小的普及数字。
https://www.quantamagazine.org/how-simple-math-can-cover-even-the-most-complex-holes-20200108/
https://www.quantamagazine.org/afterial-mathematician-finds-minimum-universal-cover-20181115/